Logaritmos para entender los decibelios

Con este título de Logaritmos para entender los decibelios, queda claro desde el principio nuestro objetivo en esta nueva entrada del block. En el mundo audiovisual, constantemente estamos utilizando multitud de valoraciones de parámetros y características diferentes en decibelios (dB), y no siempre tenemos claro su significado. Pero para entender el decibelio, creo que antes es mejor que veamos el concepto del logaritmo, puesto que el decibelio se define a partir de él. Con Logaritmos para entender los decibelios, no pretendemos hacer un estudio pormenorizado del logaritmo, sino lo suficiente como para entenderlo, ver cómo se opera con él y cuál es su representación gráfica. Por ello, nos tomaremos “algunas libertades”, y pedimos perdón por adelantado a todas aquellas personas que pudieran sentirse agredidas de algún modo por las simplificaiones o imprecisiones utilizadas. Logaritmos para entender los decibelios no va dirigido a personas con amplios conocimientos de las matemáticas, sino a personas del mundo audiovisual, muchas de las cuales no han tenido la ocasión de verlo antes.

Sin entrar mucho en detalle en relación con su origen, éste hay que buscarlo en el siglo XVII (Jorst Bürgi y John Napier), como una herramienta para mejorar y facilitar la capacidad de cálculo, sobre todo en astronomía. La idea clave de los logaritmos es que se inventaron para simplificar las operaciones de multiplicación, división y raíces de números con muchas cifras.

Pero ¿qué es el logaritmo?

Pues, en líneas generales, simplemente es una operación matemática entre números.

¿Qué operaciones matemáticas conocemos? Tenemos la operación suma, y su inversa que es la resta. También tenemos la multiplicación, y su inversa la división. ¿hay más operaciones? Si, cuando tenemos una multiplicación de números iguales lo podemos expresar como una potencia (un número elevado a otro). Por ejemplo, 2x2x2 lo podemos expresar como 2³, donde se dice que 2 es la base y 3 el exponente. Pues bien, podríamos considerar al logaritmo como una operación “inversa” a la potencia de números. Es decir, si 2^x = 8, lo que calcula el logaritmo es precisamente a qué número x habría que elevar 2 para obtener 8, y se expresa:

x = log₂8

Seguro que ahora estás pensando que, si el logaritmo se inventó para simplificar las operaciones, aquí no ves ninguna simplificación, sino todo lo contrario. ¿no?

Veamos la siguiente tabla:

 

20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	210	211	212	213	214
1	2	4	8	16	32	64	128	256	512	1024	2048	4096	8192	16384

 

En esa tabla se muestran las primeras 15 potencias de 2.

Imagina que deseamos hacer los siguientes cálculos:

64 x 256

8192 / 1024

128²

Lo podemos hacer del modo tradicional, o bien, haciendo uso de sus potencias:

64 x 256 = 2⁶ x 2⁸ = 2⁶⁺⁸ = 2¹⁴ = 16384

8192 / 1024 = 2¹³ / 2¹⁰ = 2^13-10 = 2³ = 8

64² = (2⁶)² = 2^6×2 = 2¹² = 4096

= (2¹⁴)^1/2 = 2^14/2 = 2⁷ = 128

Gracias a trabajar con los exponentes de las potencias, las multiplicaciones y las divisiones se convierten en simples sumas y restas de exponentes. Pero claro, estarás pensando que esto es posible, porque todos los números que hemos utilizado en las operaciones anteriores estaban en la tabla de arriba. Con otros números cualesquiera ¿también es posible? La respuesta es que si; es posible con cualquier número positivo, solo que el exponente ya no será entero.

Por ejemplo:

16697 x 4362 = 2^14,02730129 x 2^12,09077405 = 2^26,11807534 = 72,83231366 x 10⁶

Cualquier número positivo distinto de 1, se puede expresar como potencia de cualquier base.

Ni qué decir tiene, que la base más utilizada es la decimal (10), como nuestro sistema de numeración.

Retomando la idea de la simplificación de los cálculos con los logaritmos, ¿cómo se utilizaban? Pues se utilizaban haciendo uso de unas tablas de logarítmos. En estas tablas se recogía una buena aproximación a los valores de los logaritmos, y a ellas se acudía para buscar el logaritmo de los números deseados. Una vez se tenían localizados esos logaritmos, se hacían las operaciones con los exponentes y después, en otras tablas similares, se buscaba el antilogaritmo (la base elevada al exponente calculado) como resultado de la operación.

Veamos un ejemplo haciendo uso de las tablas (El uso de esas tablas no lo explicamos aquí. Los interesado pueden verlo en internet, por ejemplo aquí):

43 x 150

Log 43 = 1,6335

Log 150 = 2,1761

1,6335 + 2,1761 = 3,8096

antilog 3,8096 = 6,451 *10³

 

Hoy en día no tiene sentido realizar las operaciones de esta manera, pero en el siglo XVII la calculadora electrónica o los ordenadores no eran unas herramientas “muy utilizadas”. Ya no usamos los logaritmos como un medio para simplificar operaciones matemáticas, sino que los utilizamos como algo, arrastrado por el uso en algunas ocasiones, ó mantenido porque nos simplifica la forma de ver o evaluar ciertos procesos, como ocurre, por ejemplo, con la forma que tenemos de escuchar las frecuencias y las intensidades de los sonidos. De ahí que utilicemos los decibelios, una “unidad” de caracter logarítmico, y que estemos viendo ahora los logaritmos para entender los decibelios.

 

Propiedades de los logaritmos

Como se ha comentado, el logaritmo en base a de un número N es el exponente al que hay que elevar esa base a para que dé dicho número.  O expresado como propiedad:

De la definición se derivan las siguientes propiedades, siempre que todos los logaritmos implicados tengan la misma base:

1. No existe el logaritmo de un número con base negativa.

2. No existe el logaritmo de un número negativo.

3. No existe el logaritmo de 0.

4. El logaritmo de 1 en cualquier base es cero, porque todo número elevado a cero es 1

5. El logaritmo de un número que tenga como base ese mismo número es 1, porque cualquier número elevado a 1 da ese mismo número

6. El logaritmo de un producto de factores es la suma de los logaritmos de los factores.

7. El logaritmo de un cociente es la resta de los logaritmos del numerador y del denominador.

8. El logaritmo de una potencia es el producto del exponente de la potencia por el logaritmo de la base.

9. Cambio de base. Para calcular logaritmos con cualquier base tomando otra como referencia.

Estas propiedades de los logaritmos nos servirán para entender los decibelios,  y las utilizaremos en las operaciones con decibelios. Gracias a estas propiedades, podremos responder a una de las cuestiones más típicas con dB ¿el logaritmo va con 10 o con 20?, pero eso será en el tema dedicado a Niveles y Decibelios.

 

Para terminar, ya comentamos que hoy no utilizamos el logaritmo como se hacía en sus orígenes, pero sigue siendo un elemento importante. Es muy habitual encontrar comentarios como, “Es un sistema con respuesta logarítmica”, o “Ese proceso tiene un comportamiento logarítmico”, o “se trata de una representación con escala logarítmica”. En estos casos realmente lo que utilizamos es la función logarítmica, que es aquella función que asigna a cada número su logaritmo en base a.

Cuando decimos que un proceso tiene un comportamiento logarítmico, o una respuesta logarítmica, lo que se quiere decir es que no es lineal y evoluciona siguiendo una curva más o menos logarítmica, como la de la figura anterior.

En las figuras siguientes se muestra la representación de la función log₂ y ln. Los valores cambian pero la forma es la misma.

En una respuesta lineal, si con una entrada E obtenemos una respuesta R, con una entrada 2E se obtiene una respuesta 2R. Es proporcional y la representación de su respuesta es una línea recta, de ahí lo de lineal.

 

Por el contrario, con una respuesta logarítmica, cambios proporcionales en la entrada no obtienen las mismas proporciones en la salida.

 

Y, por último, respecto a las escalas de representación, las dos figuras anteriores han sido representadas con escalas lineales, es decir, con intervalos iguales (la primera intervalos de 1 unidad y la segunda intervalos de 20 unidades). También existe la posibilidad de que las representaciones utilicen una escala logarítmica en el eje x. En ese caso los intervalos iguales representan los exponentes de la base utilizada.

Veámoslo gráficamente. La figura siguiente corresponde a la representación de la función logaritmo decimal, con escala lineal e intervalos de 20 unidades.

Si ahora representamos la misma función, pero con escala logarítmica:

 

Lo primero que se observa es que, al representar la función logarítmica con escala logarítmica, el resultado ahora se muestra como una línea recta. Los intervalos son los exponentes de la base, que en este caso es 2 (2⁰, 2¹, 2², 2³, 2⁴, 2⁵, …). Tenemos ahora intervalos proporcionales, y son representados como iguales, intervalos que van aumentando proporcionalmente (en la figura x2, porque la base es 2). Consecuencia de ello es el aumento de la concentración de los puntos que forman la línea, a medida que aumenta x.

La misma función, pero con escala logarítmica de base 10 queda:

Y los intervalos son los exponentes de la base 10 (10⁰, 10¹, 10², 10³, 10⁴, …)

 

Este tipo de representación con escala logarítmica es muy utilizado, especialmente en audio, dado el carácter logarítmico que presenta el oído. Fíjate en los gráficos de respuesta en frecuencia de cualquier dispositivo de audio y verás como son de este tipo.

Espero que Logaritmos para entender los decibelios haya sido para ti interesante y de provecho. Lo podrás relacionar con el tema Niveles y Decibelios, en este mismo bloc.

 

José Manuel Martín